Application of modern numerical methods to solving boundary value problems and analysis of their efficiency

The paper considers modern numerical methods for two-point boundary value problems for second-order ordinary differential equations: the finite difference method, the finite element method, the shooting method and Chebyshev spectral collocation. Their accuracy, order of convergence and stability are compared on a test problem with a known exact solution, and practical recommendations for choosing a method are given.

В статье рассмотрены современные численные методы решения двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод стрельбы и спектральный метод коллокации на узлах Чебышёва. На тестовой задаче с известным точным решением проведён сравнительный анализ точности, порядка сходимости и устойчивости методов, даны практические рекомендации по выбору метода.

Maqolada ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun ikki nuqtali chegaraviy masalalarni yechishning zamonaviy sonli usullari – chekli ayirmalar usuli, chekli elementlar usuli (Galyorkin yondashuvi), otish (shooting) usuli va Chebishev nuqtalaridagi spektral kollokatsiya usuli ko‘rib chiqilgan. Aniq yechimi ma’lum bo‘lgan test masalasida usullarning aniqligi, yaqinlashish tartibi va hisoblash hajmi bo‘yicha qiyosiy tahlil o‘tkazilgan. Hisoblash tajribalari silliq yechimlar uchun spektral usulning eksponensial aniqligini, otish usulining esa katta parametrli masalalarda turg‘unligini yo‘qotishini ko‘rsatdi. Natijalar asosida usul tanlash bo‘yicha amaliy tavsiyalar berilgan.