A mathematical model of the spread of an infectious disease

The paper studies the classical Kermack–McKendrick SIR model, which describes the spread of infectious diseases in a closed population. The model is formulated as a system of ordinary differential equations. In addition, the first integral of the system is considered, and the condition for the function of infected individuals to reach its maximum value is derived. It is shown that, despite its simplicity, the SIR model adequately reflects the fundamental patterns of the epidemic process and serves as a basis for more complex models of mathematical epidemiology.

В работе изучена классическая SIR-модель Кермака – Маккендрика, описывающая распространение инфекционных заболеваний в замкнутой популяции. Приведена постановка модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, рассмотрен первый интеграл системы и выведено условие достижения функцией числа инфицированных максимального значения. Показано, что SIR-модель, несмотря на свою простоту, адекватно отражает основные закономерности эпидемического процесса и служит основой для более сложных моделей математической эпидемиологии.

Jumısta juqpalı keselliklerdiń jabıq populyaciyada tarqalıwın táriypleytuǵın klassikalıq Kermak-Makkendrik SIR modeli úyrenilgen. Ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması kórinisindegi modeldiń qoyılıwı keltirilgen. Sonday-aq, sistemanıń birinshi integralı kórip shıǵıladı hám infekciyalanǵanlar funkciyasınıń maksimum mánisine erisiw shárti keltirip shıǵarıladı. SIR modeli ápiwayılıǵına qaramastan, epidemiyalıq processtiń tiykarǵı nızamlıqların adekvat sáwlelendiriwi hám matematikalıq epidemiologiyanıń quramalıraq modelleri ushın tiykar bolıwı kórsetilgen.