Methods for finding approximate solutions of diffusion-type equations in complex processes using mathematical modeling

The paper studies methods for finding approximate solutions of parabolic spreading (diffusion-type) equations that describe complex processes such as heat conduction, diffusion, filtration and population spread. Explicit, implicit and weighted (Crank–Nicolson) finite difference schemes are constructed for linear and nonlinear equations, and their stability conditions and orders of convergence are analysed. The Thomas (sweep) algorithm and Picard iteration are used for solving the resulting systems. Numerical experiments on a test problem with a known exact solution compare the accuracy and stability of the schemes, and practical recommendations are given.

В статье изучены методы нахождения приближённых решений параболических уравнений диффузионного типа, описывающих такие сложные процессы, как теплопроводность, диффузия, фильтрация и распространение биологических популяций. Для линейных и нелинейных уравнений диффузионного типа построены явные и неявные конечно-разностные схемы, а также схемы с весами (Кранка–Николсон), проанализированы условия их устойчивости и порядки сходимости. Для решения полученной трёхдиагональной системы уравнений применён метод прогонки, а в нелинейном случае – итерации Пикара. По результатам вычислительных экспериментов на тестовой задаче с известным точным решением проведено сравнение точности и устойчивости схем и даны практические рекомендации.

Maqolada issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya, filtratsiya va biologik populyatsiyalarning tarqalishi kabi murakkab jarayonlarni ifodalovchi parabolik tipdagi tarqalish tenglamalarining taqribiy yechimlarini topish usullari o‘rganilgan. Chiziqli va nochiziqli tarqalish tenglamalari uchun oshkor, oshkormas va vaznli (Krank–Nikolson) chekli ayirmali sxemalar qurilgan, ularning turg‘unlik shartlari va yaqinlashish tartiblari tahlil qilingan. Hosil bo‘lgan uch diagonalli tenglamalar sistemasini yechish uchun haydash (progonka) usuli, nochiziqli hol uchun esa Pikar iteratsiyasi qo‘llanilgan. Aniq yechimi ma’lum bo‘lgan test masalasida o‘tkazilgan hisoblash tajribalari natijasida sxemalarning aniqligi va turg‘unligi solishtirilib, amaliy tavsiyalar berilgan.